О «несоизмеримых сущностях» в философии пифагорейцев. К философским основаниям иррациональных пропорций в науке и культуре

Липов Анатолий Николаевич кандидат философских наук научный сотрудник, Институт философии, Российская академия наук 119330, Россия, г. Москва, ул. Мосфильмовская, 41, оф. 54 Lipov Anatolii Nikolaevich PhD in Philosophy research assistant at Institute of Philosophy of the Russian Academy of Sciences 119 330, Russia, g. Moscow, ul. Mosfil'movskaya, 41, of. 54 antolip@yandex.ru Другие публикации этого автора

Одним из значительных открытий в пифагорейской школе на рубеже У-У11в.в. до н. э. стало и открытие явления несоизмеримости, т.е. обнаружение таких величин, отношение между которыми не могли быть выражено с помощью отношения целых чисел и которое по степени математической значимости можно сравнить, пожалуй, лишь с открытием дифференциального и интегрального исчислений И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Именно последователи Пифагора заложили эмпирические основы музыкальной акустики и впервые сформулировали основные понятия и принципы музыкальной теории, в которых для древних греков условием некоего устойчивого совершенства и гармонии являлась необходимость обязательного присутствия пропорциональной связи или согласного строя.

По нашему убеждению, и мы попытаемся обосновать этот тезис далее, многие методологические трудности, с которыми столкнулось естествознание на рубеже двух тысячелетий, в той или иной степени связаны с загадками пифагорейцев и элеатов, заложивших основу гармонического и математического видения мира. Невзирая на то, что положение Пифагора о том, что числа правят миром, это положение воспринимается ныне не более как некая научная мета-метафора и сегодня, как и в древности, с особой значимостью встает вопрос о существовании особых (универсальных) математических отношений, воплощенных в организации реально наблюдаемых наукой объектов и явлений.

Ещё из школьной программы нам известно, что эта теорема Пифагора формулируется так – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (с 2=а 2 + b2). Достаточно длительный период времени научный мир считал Пифагора родоначальником чистой математики, ибо именно он сделал первый шаг к сплошной математизации приобретенных знаний. Влияние Пифагора на мыслителей последующих эпох вплоть до Коперника и Кеплера и частота, с которой встречается его имя во всей античной литературе, может соперничать даже с Сократом и Платоном, далеко превосходя в этом отношении их предшественников.

Из античных источников следует, что последователи Пифагора знали три вида пропорций – арифметическую, геометрическую и гармоническую. Однако помимо данных пропорций пифагорейцы особое внимание уделяли и так называемым непрерывным пропорциям или предельными величинам, то есть таким пропорциям, у которых средние члены совпадали (в = с). При этом пифагорейцы не только изучали математические свойства так называемых «средних величин», но и наполняя их глубоким эстетическим смыслом.

Известно, что Демокриту (род. ок. 470 г. н.э.) принадлежит книга «Об иррациональных линиях и телах». Следовательно, к этому времени иррациональность √ 2 была уже доказана. Гипократ Хиосский (ок. 440 г. до н.э.) занимался в то время проблемой удвоения куба, решение которой должна было предшествовать и разрешению соответствующей проблемы в планиметрии – проблемы удвоения квадрата, тесно связанной с открытием несоизмеримых отрезков. Из чего можно заключить, что несоизмеримые или иррациональные отношения в это время занимали уже значительное место в греческой математической теории.

Из истории также известно, что сами греки полупрезрительно именовали египтян «натягивателями веревок», хотя уже во времена царя Хамураппи (ХУ111 в. до н.э.) вавилоняне умели решать не только линейные, квадратные, но и некоторые виды кубических уравнений, а также системы линейных и квадратных уравнений с двумя неизвестными. Невзирая на то, что все эти системы уравнений и формулы были растворены в контексте конкретных задач с конкретными же числовыми кооффициентами, не может быть никаких сомнений в том, что жрецы, математики и архитекторы Вавилона владели в том числе и их общими принципами и методами их решения. В Древнем Египте в эту эпоху умели решать только самые простые линейные уравнения.

Что касается геометрии Древнего Вавилона, то она не достигла таких крупных успехов как вавилонская алгебра, уже хотя бы на том основании, что известно, что вавилонское число π = 3 было существенно хуже египетского. Вавилоняне также пользовались не правильной формулой для определения объёма усеченной пирамиды с квадратным основанием, тогда как египтяне знали правильную формулу.

Применительно же ко времени Пифагора (570-490 гг. до н. э.) сложно говорить об иррациональных величинах как таковых, но лишь об открытии иррациональности √ 2. По мнению историков науки, открытие знаменитой теоремы Пифагора стало возможным на основе теории пропорций, его акустическим исследований и математическим открытиям. Пифагору были известны арифметика, геометрия, гармонические пропорции: три средних пропорциональных величины, а также «музыкальная пропорция», непосредственно связанная с его музыкальными экспериментами. Опираясь именно на эти теоретические основания, Пифагор и открыл свою знаменитую теорему.

Если бы Пифагор действительно открыл иррациональность √ 2, то это, безусловно, нашло бы отражение в античной литературе. Однако таких сведений до сих пор не найдено. Если Фалес в отличие от вавилонян и египтян впервые занялся «угловой» геометрией, то Пифагор сделал следующий шаг, положив начало стереометрии, построив такие пространственные формы как правильный тетраэдр и куб. Классическое же доказательства иррациональности √ 2, т.е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной даётся в приложении к Х книге Евклида.

Тем не менее к какой бы реконструкции первоначального доказательства иррациональности мы не пришли, остается очевидным, что это открытие явилось важнейшим этапом становления не только древнегреческой философии математики. Ибо для математиков и геометров Древней Греции во-первых, был очевиден тот факт, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики и во-вторых, не менее очевидным и значимым был для них факт, что объединяющим началом всех вещей служат численные отношения, выражающие гармонию и порядок природы.

Более того, сама история науки показала, что уже в самой античности теорема Пифагора не только получила громкую известность, но и была осознана как выдающееся достижение теоретического знания, в том числе и в вследствие того, что приводит к появлению иррациональных чисел, являющихся, как и известное всем число π, следствием нарушения диалектического единства качественных и количественных аспектов объектов в классической геометрии.

И именно Пифагору наука обязана одной из своих последующих идей, оплодотворившей развитие как античного, так и современного искусствознания – природа подчиняется скрытым закономерностям, выразимых с помощью математики. Космос, учил Пифагор и вещи в нем суть соразмерное единство противоположностей. Аристотель в «Метафизике» обозначает у пифагорейцев десять таких противоположностей, определяющее место среди которых занимает отношение предела и беспредельного или конечного и бесконечного. В свете такого понимания, мир в целом есть ни предел, ни беспредельное, но предстаёт как единство этих противоположностей, определяющей как космическую гармонию, так и гармонию каждой вещи. Из предела и беспредельного далее возникают числа.

Из чисел создаются геометрические фигуры, порождающие материальные элементы. Числа при этом остаются не хаотическими, а гармоническими. И именно эта числовая гармония и создает гармонически устроенный Космос. По мнению А.Ф. Лосева, сформулированному им во вводной статье к диалогу Платона «Пир», «рассуждения пифагорейцев о пределе и беспредельном далеко не беспредметны и имеют в своей основе попытку отыскать научную закономерность в соотношении этих двух явлений» ^{[1, с. 298]}.

Одна из двух наиболее многочисленных груп последователей Пифагора – пифагорейцы разработали в геометрии теории параллельных линий, теорему о сумме углов треугольника, четырехугольника и правильных многоугольников. Кроме того, они исследовали окружность, правильные многогранники и шар, открыли правильный пятиугольник и доказали, что плоскость может быть покрыта равносторонними треугольниками, квадратами и шестиугольниками.

При убежденности пифагорейцев в том, что элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир является гармонией и числом, ими было найдено доказательство существования несоизмеримых величин. Оказалось, что для таких элементарных геометрических объектов как диагональ и сторона одного и того же квадрата не существует меры, то есть нет измеряющего их числа. Подобный арифметический вывод практически опрокидывал пифагорейскую философскую систему представлений о Сущем. Попытка преодолеть этот кризис привела к тому, что пифагорейцы стали изучать, в их определении, «неразумные величины», которые мы сегодня именуем иррациональными.

Пытаясь выйти из кризиса, иррациональность отношения диагонали и стороны квадрата пифагорейцы стали объяснять тем, что оба эти отрезка состоят из бесчисленного множества точек и поэтому их отношение сводится к отношению двух бесконечно больших чисел, что в отношении иррациональных чисел в чисто математическом смысле являлось справедливым.

Однако практически в то же время достаточно быстро было обнаружено, что диагональ и сторона квадрата не составляют исключения в возникновении иррациональных чисел. К концу У в. до н.э. математиком и астрономом, пифагорейцем Феодором из Кирены было обнаружено, что стороны квадратов, площади которых равны 3, 5. 6..., 15 несоизмеримы со стороной единичного квадрата т.е. числа √ 3, √ 5, √ 6…√ 15 и далее являются иррациональными соотношениями.

Поскольку же некоторые геометрические объекты не измерялись соотношением целых чисел, пифагорейцам было естественно предположить, что геометрические объекты являются величинами более общей природы. Поэтому в пифагорейской школе была предпринята попытка построить всю математику, основываясь не на арифметике, а на геометрии, в которой все алгебраические операции как записывались, так и разрешались геометрически.

Стали формироваться элементы «геометрической алгебры», которая была заложена пифагорейцами в здание античного учения о формообразовании, где эта идея представлена наиболее рельефно и в котором симметрия была подвергнута наиболее всестороннему анализу. Математическая теория музыки окончательно сформулировала круг родственных дисциплин, которыми занимались в пифагорейской школе – арифметика, геометрия, астрономия и гармония – будущий квадривиум средневековья.

Из пифагорейских математиков, с достоверностью мы знаем одного Гипаса (древн. греч.-Хиппасос из Метапонта, около 450 г. до н.э.),, имена других не сохранились, но это не значит, что их не было, ибо за время жизни Пифагора пифагорейцы достигли в математике слишком многого, чтобы относить все эти достижения только к Гипасу. От Гипаса же проистекала и самостоятельная математическая традиция, нашедшая своё отражение в источнике. УI в. Более того, поздние авторы именно с ним связывают построение вписываемого в шар додекаэдра и собственно открытие иррациональности или несоизмеримых величин.

К концу У в. до н.э. пифагореец Феодор из Киррены (математик и астроном, музыковед и впоследствии учитель Платона) показал, что стороны квадратов, площадь которых равна 3, 5, 6….15, несоизмеримы со стороной единичного квадрата, т.е. числа √ 3, √ 5, √ 6…√ 15 иррациональны, причём он рассматривал каждую иррациональность в отдельности.

Гиппас, который принадлежал к тайному обществу пифагорейцев, обнаружил в своих исследованиях на пятиугольнике, что отношение длины кромки к диагонали не может быть представлено как часть целых чисел. Этот результат противоречил убеждению пифагорейцев в том, что мир может быть полностью описан целыми числами. По иронии судьбы, опровержение этой точки зрения было обнаружено в пентаграмме. Таким образом, Гипас обнаружил явление иррациональных чисел в несоизмеримости маршрутов и два размера, которые пропорциональны так называемому «золотому соотношению», обозначенному впоследствии по первой букве имени греческого скульптора Фидия значением Ф.

Согласно неподтвержденным сообщениям, Гиппас обнародовал свое открытие против правил своего тайного общества публично и поэтому был потоплен как наказание. Первое подробное описание золотого сечения происходит от Евклида (около 300 г. до н.э.), который наткнулся на его исследования так называемых «платоновских тел» или многоугольников, среди них пентагона или пентаграммы.

В истории науки существуют различные гипотезы относительно того почему другой греческий математик – Феодор Киренский (ок. 340 г. до н. э. - ок. 250 г. до н. э.) известный как учитель Платона, а также как персонаж диалогов Платона «Теэтет», «Софист» и др. не смог доказать иррациональность следующего числа √17 и далее. Работа Феодора известна по единственной теореме, которая представлена в литературном контексте трактата «Теэтет» («Theaetetus»), в котором его ученик Театетус приписывает ему теорему о том, что квадратные корни неквадратных чисел до 17 являются иррациональными:

Одна из объяснений основывается на предположении, что ее доказательства Феодора основывались на учении о чётном и нечётном, а первое числе, для которого этот способ не существует, как раз и есть √ 17. Однако уже в начале 1У в. до н.э. одним из учеников Феодора (доподлинно имя неизвестно) было получено общее доказательство иррациональных чисел вида √ N, где N – целое число, не являющееся полным квадратом. Другое возможное объяснение исходит из вероятности того, что Феодор применил так называемый «евклидовов алгоритм», описанный в «Элементах» Евклида как тест на несоизмеримость. В современных терминах теорема состоит в том, что вещественное число с бесконечным продолжением дробных дробей является иррациональным, а иррациональные квадратные корни имеют периодические разложения ^{[2, с.14]}.

Уже Платон знал, что известная последовательность величин, возрастающая по определенному закону, может быть продолжена в бесконечность и может, как угодно близко подходить к основному пределу, тем не менее, никогда его не достигая. В диалоге «Пир» Платон разделяет вещь и идею вещи и, как отмечал А.Ф. Лосев, Платон использует здесь, по крайней мере, одну великолепную возможность, а именно толкует идею вещи как предел ее становления. Для Пифагора числа были одновременно и источником любой формы, формообразования и оформления. Числа это первая определенность Бытия, еще лишенная какого-либо качества. Числа суть не абстрактные элементы счета, но самостоятельные и объективные субстанции, которые ввиду своей без качественности является чем-то гораздо боле первичным, чем само Бытие и чем даже сами идеи.

В этом смысле числа, в понимании Пифагора, суть сверхсущностные единицы. И лишь вступая в синтез с окружающим их инобытием, наполняются этим инобытием и потому получают качество, образуя собой бытие. Пифагор прямо говорит о том, что все происходит не из числа, но сообразно с числом, ибо в числах присутствует первичная упорядоченность и в исчислениях предмета последовательно упорядочено первое, второе, и т.д. И здесь представляет безусловный интерес, так называемый пифагорейский знак или пентаграмма.

Основное содержание пентаграммы, считавшейся пифагорейским символом – это звездообразный пятиугольник, стороны которого образуют в описанном круге хорды дуг величиной –

В – 4

5 Пифагорейский знак был геометрическим символом отношений, характеризующим эти отношения не только в математической, но и в пространственно – протяжённой и структурно-пространственной формах. При этом он принимался за инвариант преобразования геометрической симметрии не только живой, но и неживой природы. В качестве небольшого отступления напомним, что числом Ф и его гомологами характеризуется правильный десятиугольник, шестиконечная «звезда Соломона», и правильный пятиугольник, определяющий очень важный вид симметрии в природе – пентагональную симметрию. Если вершины пятиугольника соединить через одну, получится пятиконечная звезда – фигура, чрезвычайно богатая пропорциями «золотого сечения», символ совершенства и одновременно эмблема пифагорейского ордена.

Правильный пятиугольник и вписанная в него пятиконечная звезда, образующая пентаграмму, которой в истории цивилизации во многих культурах приписывались исключительные магические свойства. Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые в этом плане много заимствовали у пифагорейцев. Именно начиная со средних веков, пентаграмме стали приписывать свойство охранного знака от Сатаны. Достаточно вспомнить в этой связи как описывает Гёте проникновение Мефистофеля в келью доктора Фауста, над входом которой была начертана пентаграмма.

По видимому изначально как знак пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют и пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, и морские звезды. И те и другие создания природы человек наблюдал уже тысячи лет. Отсюда естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма стала известна в истории цивилизации и культуры раньше, чем «золотая пропорция».

Несколько тысячелетий спустя Леонардо да Винчи в работе «О мощи математики и о количественном изучении явлений» (1508) производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в «золотом делении». Таким образом, было доказано, что звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Примечательно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет константным.

Геометрически меру «золотого сечения» в пятизвездной пентаграмме, которое Евклид называл ещё «непрерывным делением», можно найти несколько раз. Правильный пятиугольник и вписанная в него пятиконечная звезда, образующая пентаграмму, которой в истории цивилизации во многих культурах приписывались исключительные магические свойства.

Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызть кончик двери с записью пентаграммы. Пентаграмма здесь тот самый волшебный знак у порога, который, будучи плохо начертан, дал возможность Мефистофелю войти, но не позволил выйти из комнаты Фауста. При этом критерием, определяющим отношение высоты колонны к длине колоннады, было расстояние между двумя колоннами, являющимися средне пропорциональными значениями. Невзирая на подобные архитектурные подтверждения, следования греками исключительно пропорциональным величинам, существуют веские основания полагать, что «золотая», иррациональная пропорция Пифагору была все же известна.

Пифагорейцы выбрали звездчатый пятиугольник в качестве талисмана. Она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком, но непосредственно как эмблема здоровья была принята лишь в Древней Греции. Косвенным доказательством этому служит существование иррациональных соотношений в греческом строительстве, где господствовали протяженные величины, использование которых может быть обосновано вне прямой связи с мистикой у пифагорейцев дискретных чисел такт как мироощущение греков четко разграничивало геометрически протяженные, а значит, всегда непрерывные величины от дискретных чисел.

Чрезвычайно интересны представления о том, почему же пентаграмма была избрана пифагорейцами в качестве эмблемы их союза. Одно из подобных обоснований исходит из того, что пентаграмма – иначе равнобедренный треугольник, у которого углы при основании = 72º, что вдвое больше угла при вершине 36º, обладает совершенно уникальными свойствами – биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в известной пропорции «золотого сечения».

И именно это замечательное свойство пентаграммы была названа в последующем средневековыми математиками, архитекторами и художниками «возвышенным треугольником». А. В. Волошинов математически доказывает, что «…пентаграмма буквально соткана из «золотых пропорций» во всех своих средних значениях» ^{[3, с. 72]}. Поэтому не удивительно, что столь редкие математические и геометрические свойства должны были приводить пифагорейцев в восторг.

Необычное пропорциональное строение, красота её внутреннего математического содержания является основанием и красоты её внешней формы, ибо то, что пропорциональное, в представлении пифагорейцев, то, вне сомнения и красиво. К математически- геометрической красоте пентаграммы пифагорейцы присоединяли ещё и суммы женского – 2 и мужского – 3 чисел.

Закономерным следствием математического совершенства этой фигуры, соединением в ней мужского и женского начал явилось то, что пентаграмма воспринималась в пифагорейской школе и как символ жизни и здоровья. В отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин были известны еще в древности, хотя изначально термины «рациональные» и «иррациональные» числа относились не к самим числам, а к несоизмеримым величинам, которые сами пифагорейцы называли «выразимыми» и «невыразимыми», а математики классической эпохи пользовались только рациональными (целыми, дробными и положительными) числами.

Даже в своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях исключительно геометрически. Математики же Индии, ближнего и среднего Востока, развивая тригонометрию, алгебру и астрономию не могли обойтись без иррациональных числовых величин (десятичные разложения которых не периодичны и бесконечны), которые, тем не менее, длительное время не признавали за числа. Более развитая в то время вавилонская наука явилась своего рода предтечей и основанием для греческой науки. Достаточно сказать, что теорему Пифагора за 1000 лет до её рождения, правда, только лишь в своих частных прикладных приложениях была начертана на вавилонских глиняных табличках.

А в своих прикладных аспектах теорема Пифагора была обнаружена ещё ранее – в египетском треугольнике, различных задачах и папирусе фараона Аменемхета 1 (ок. 2000 до н.э.), в вавилонских клинописных табличках царя Хамураппи ХУ111 в. до н.э.), в XVI – нач. XVII в. до н.э. в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзин» (математический трактат о гномоне, астрономическом инструменте, позволяющем определить угловую высоту солнца).

В древнеиндийском геометрическо-телеологическом трактате «Сульва-сутра» («Правило верёвки») У11-У в. в. до н.э. вавилонские писцы и жрецы за тысячу лет до Пифагора решали квадратные уравнения, которые хотя и были сформулированы в численном виде и имели характер преимущественно хозяйственных и астрономических задач, но, как свидетельствуют историки науки, явно выходили за пределы того, что определялось в тот период материальной необходимостью ^{[4, с. 39]}. Число 2 не является иррациональным; оно может быть записано как частное от деления двух целых чисел: 2/1 = 2. Тем не менее √ 2 является иррациональным.

Если бы это значение было рациональным, оно могло бы быть записано как частное от деления двух целых чисел. Пифагор считал, что все величины в природе можно было бы назвать рациональными числами. Как гласит история, его ученик Гиппасос обнаружил, что √2 является иррациональным. Однако открытие иррациональных чисел, как свидетельствует история философии, было шокирующим для пифагорейцев, и Гиппасос, по преданию, утонул в море, по-видимому, как наказание от богов за разглашение тайны этого открытия.

Пифагор не знал, что значение √ 2 иррационально, так как иррациональность√ 2, как и число π, были доказаны Эйлером в лишь период с 1737 до 1761 гг. Тем не менее Пифагор считал, что все числа, в том числе и рациональные можно записать в виде соотношения и защищал эту позицию довольно яростно. Суждения о том, что существовали числа, которые не могут быть записаны в виде отношения, в то время было недалеки от ереси.

Вавилонская математика и астрономия оставалась вычислительным, но не теоретическим знанием. В 30-х годах ХХ века, когда появилась возможность дешифровки математических табличек вавилонян и возникла возможность ознакомиться непосредственно с их результатами в этой области, обнаружилось, что уровень вавилонской математики был несоизмеримо более высоким, чем последующий уровень египетской.

В то же время рост сведений о египетской математике, в частности, издание знаменитого папируса Ринда, показал очень примитивный характер египетской геометрии, что привело в дальнейшем к более сдержанной оценке историками науки влияния достижений египтян на математику греков и школу Пифагора. В частности и побудило их к поиску истоков греческой науки на Востоке. В Х11 в до н.э. китайцы знали свойство египетского треугольника, а к У1 в до н.э. и общий вид теоремы в древнеиндийском геометрическо-телеологическом трактате «Сульва сутра» («Правило верёвки»).

Как отмечает А. В. Волошинов: «открытие несоизмеримости и обнаружение таких величин, отношение которых не может быть выражено относительно отношения целых чисел явилось главным достижением пифагорейской школы и поворотным этапом в развитии всей математики» ^{[3, с.39]}. А по силе революционного воздействия, утверждает там же А.В. Волошинов, «…это открытие, возникшее на рубеже У1-У в.в. до н.э., можно сравнить с открытием дифференциала и интеграла Ньютоном и Лейбницем в начале Х1Х в. или теории относительности А. Эйнштейна в начале ХХ в. «Более того, сама история науки показала, что уже в самой античности эта теорема получила громкую известность и была осознана как выдающееся достижение теоретического знания» ^{[3, с. 144]}.

Начиная с Х1 книги, в разделах, посвященных стереометрии, Евклидом при построении пространственных тел правильных двенадцати и двадцатиугольников используется известный принцип пропорции, получивший значительно позднее наименовение «золотого сечения» также являющимся несоизмеримым. В 1У и У книгах Евклида этот принцип применяется при построении плоских фигур – правильных пяти и десятиугольников Существо данной пропорции подробно ра